「コラッツ予想」自然数から整数への拡張

 私のお気に入りの本、加藤文元さんの「数学する精神」の第6章パスカルの半平面に倣って、コラッツ予想を自然数から整数へ拡張してみました。


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「コラッツ予想物語」

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  今回は、「コラッツ予想物語」（１万字）です。 前回の「コラッツ予想」をどのように考えて、この結論に至ったのかを物語にしました。 いろいろな問題を解く参考になったら、ありがたいです。 興味のある方は、「 コラッツ予想物語 」をみてください。 第13回日経「星新一賞」に応募しましたが、残念な結果となりました。
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「コラッツ予想」なぜ１になるのか

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「数学とあそぼう」というテーマで、ブログを始めました。 今回は、「コラッツ予想」です。 コラッツ予想とは、「すべての自然数は、偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１をたす、を繰り返すと必ず１になるはずだ」というものです。なぜ、必ず１になるのでしょう。考えてみました。 結論は、 1.　コラッツ予想を論理式で表すと、とてもきれいで、バランスのとれた式になっている。 例えば、「奇数なら３倍して」を、「５倍」、「７倍」に変更すると、バランスの悪い式になってしまい、必ず１にはなりません。 2.　コラッツ予想の計算空間は、小さくなる圧力が大きくなる圧力の３倍である。 以上のことから、計算を繰り返すと、必ず１になるのです。 詳細は、「 コラッツ予想　なぜ1になるのか 」です。 より詳細な説明を知りたい方は、「 辻󠄀原整数論セミナー 」、「 Jxivへの投稿論文 」をみてください。 論文の補足説明をします。 自然数の木構造を保持している場合は、”1, 2, 3, 4, …”と1ずつ順に数が大きくなることを意味しています。これが、3倍のときです。 5倍のときは、親が1の場合、その子の左右が入れ替わるので、３ビット値で考えると、”7, 6, 5, 4, 3, 2, 1”の順になります（偶数回親が1の場合は、その子の左右は入れ替わりません）。これを、ねじれた状態と呼んでいます。 7倍のときは、 親 とその親のどちらも1の場合、その 親 の子の左右が入れ替わるので、３ビット値で考えると、”1, 2, 7, 4, 5, 6, 3”の順になります。これを、ゆがんだ状態と呼んでいます。 従って、コラッツ予想は「3倍」でなければならないのです「 最終論文（2024年9月3日） 」。 ※Jxivとは、国立研究開発法人科学技術振興機構（JST）が運営しているプレプリントサーバ（ Jxiv, JSTプレプリントサーバ ）です。残念ながら、却下されてしまいました。
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動的な数「コラッツ数」

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 コラッツ数についての説明です。 自然数は静的な数だが、コラッツ数は動的な数だ。 5ビットのコラッツ数の1番目の数は21（2進数では10101）です。 自然数って何だろう。1，2，3，…。ビットで表現すると、自然数の上位に無限に０が続く。 逆に、無限に０が続くと、自然数の「値」が確定する。 コラッツ数の構造は、自然数の「無限に０が続く」部分が、「無限に1，0，1，0，…と続く」となる。 自然数を二分木で表すと、最上位ビットが１の場合は、「値」は確定できない。 その上位に、無限に０が続くかどうか不明だから。 コラッツ数も同じだ。無限に1，0，1，0，…と続くが、0の次に0、1の次に1となったとき、 コラッツ数の「値」は確定されない。 一般の人に向けた数学の本に、「アキレスとカメ」の話が出てくる。無限小の扱いの難しさが書かれてある。 でも、無限大についての記述は、あまり見かけない。 加藤文元さんの本に、「自然数はそんなに簡単ではない」と書かれてあったような（記憶があやふや）。 コラッツ予想も、この難しさを含んでいるのだろう。  論文：「コラッツ予想」なぜ１になるのか、の 最終版 です。
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